Hệ phương trình tuyến tính

Mời chúng ta cùng tìm hiểu thêm câu chữ bài xích giảng Bài 1: Hệ pmùi hương trình đường tính dưới đây để khám phá về dạng trình diễn ma trận, giải hệ pmùi hương trình con đường tính bằng cách thức Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất,...

You watching: Hệ phương trình tuyến tính


1. Dạng màn biểu diễn ma trận

2. Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính bởi phương pháp Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ pmùi hương trình đường tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 phương trình tuyến tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi kia, hệ phương thơm trình bên trên rất có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong trường phù hợp tổng thể, ta xét hệ m phương thơm trình tuyến đường tính nẩn nlỗi sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Khi đó, hệ phương thơm trình trên có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) Call là ma trận hệ sổ của hệ phương thơm trình.Ma trận(overline A = (A|B)) Gọi là ma trận thông số mở rộng của hệ phương trình.X Gọi là vectơ ẩn.

2. Giải hệ pmùi hương trình tuyến tính bởi phương pháp Gauss.


Một cách thức thông dụng để giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính là phương pháp Gauss, gửi ma trận hệ số mở rộng (overline A ) về dạng bậc thang tốt cầu thang thu gọn gàng, dựa vào những phxay chuyển đổi sơ cấp bên trên mẫu.

See more: Bảng Ngọc Rengar Mùa 11 Và Cách Chơi Rengar Mùa 8, Bảng Ngọc Rengar Rừng

Ví dụ: Giải hệ phương trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận thông số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta bao gồm hệ phương thơm trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = altrộn in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = altrộn )

Nhỏng vắt, hệ phương thơm trình gồm rất nhiều nghiệm với nghiệm tổng thể là:

(X = (4 - altrộn ;5 - alpha ;altrộn );altrộn in R)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận thông số mở rộng của (I) là:

Ta gồm hệ pmùi hương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ bao gồm nghiệm tuyệt nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận thông số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta tất cả hệ phương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương thơm trình đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ bao gồm nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ gồm rất nhiều nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k lúc đó, hệ phương trình bao gồm k ẩn chính ứng cùng với k bộ phận đứng vị trí số 1 và n - k ẩn thoải mái, được đưa sang trọng vế phải.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận thông số mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ gồm rất nhiều nghiệm với 2 ẩn chính ứng cùng với 2 phần tử dẫn đầu là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn thoải mái x3 ta bao gồm hệ pmùi hương trình có rất nhiều nghiệm với nghiệm bao quát là:(X = left( 1 - fracaltrộn 2; - 2 + fracalpha 2;alpha ight),với,altrộn in R)


4. Hệ Cramer


Hệ phương trình tuyến đường tính AX = B được Gọi là hệ Cramer giả dụ A là ma trận vuông ko suy biến , nghĩa là(left| A ight| e 0)

khi kia, ta bao gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cấp của ma trận A khá bự thì vấn đề tìm(A^-1) tương đổi phức tạp. hơn nữa, bao gồm lúc ta bỏ ra đề nghị search một vài ẩn (x_j) cầm vị toàn thể những ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ kia, tín đồ ta tìm ra công thúc tính từng ẩn (x_j) nhờ vào cách làm (X = A^-1B) nlỗi sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận đã có được trường đoản cú A bằng cách cố gắng cột j do vế bắt buộc (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ phương thơm trình tuyến tính thuần nhất.


Hệ phương trình đường tính AX = 0 điện thoại tư vấn là hệ thuần nhất. Ngoài các tính chất thông thường của hệ AX = B, hệ thuần độc nhất vô nhị AX = 0 còn tồn tại các đặc điểm riêng biệt như sau :

Hệ luôn luôn luôn gồm nghiệm bình bình X = 0 (không tồn tại ngôi trường đúng theo hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, ko suy biến đổi thì hệ tất cả nghiệm độc nhất vô nhị (X = A^-10 = 0), chính là nghiệm tầm thường.Nếu hệ bao gồm vô số nghiệm thì tập nghiệm là 1 không gian bé của không gian(R^n) (với n là số ẩn). Một cửa hàng của không gian nghiệm được Call là 1 hệ nghiệm cơ phiên bản.

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, nên hệ bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ gồm vô số nghiệm với nghiệm bao quát là:(X = ( - alpha ; - 2altrộn ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là 1.

See more: Truyện Ngôn Tình Nhiều Lượt Đọc Nhất Dành Cho Fan, Truyện Đọc Nhiều Nhất Hiện Nay

Ví dụ: Giải hệ phương trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm tổng quát là:

(X = (altrộn + 2eta ;altrộn + eta ;altrộn ;eta ) = altrộn (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,altrộn ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ phiên bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không gian nghiệm là 2.